Una nueva perspectiva sobre la estructura y la complejidad.

En ciencia, las explicaciones más simples a menudo contienen la mayor parte de la verdad, un concepto conocido como la navaja de Occam. Este principio ha dado forma al pensamiento científico durante siglos, pero cuando se trata de ideas abstractas, ¿cómo las evaluamos?

En un nuevo artículo, filósofos de la Universidad de California, Santa Bárbara y la Universidad de California, Irvine, discuten cómo equilibrar la complejidad de las teorías científicas comparando sus matemáticas subyacentes. Su objetivo es describir la cantidad de estructura que usa una teoría usando simetría, o aspectos de un objeto que permanecen igual cuando se realizan otros cambios.

Después de mucho debate, los autores finalmente dudan de que la simetría proporcione el marco que necesitan. Sin embargo, revelan por qué es una excelente guía para entender la arquitectura. Su trabajo aparece en la revista síntesis.

“Las teorías científicas a menudo no llevan su explicación en la manga, por lo que puede ser difícil decir exactamente lo que te dicen sobre el mundo”, dijo el autor principal Thomas Barrett, profesor asociado en el Departamento de Filosofía de UC Santa Barbara. Especialmente las teorías modernas. Cada siglo se vuelven más matemáticos”. Comprender la cantidad de estructura en diferentes teorías puede ayudarnos a entender lo que dicen e incluso darnos razones para preferir una sobre la otra.

La estructura también puede ayudarnos a reconocer si dos ideas son realmente la misma teoría, solo que con ropas diferentes. Por ejemplo, a principios del siglo XX, Werner Heisenberg y Erwin Schrödinger formularon dos teorías separadas de la mecánica cuántica. “Odiaban las teorías del otro”, dijo Barrett. Schrödinger argumentó que la teoría de su colega “carece del poder de concebir”. Mientras tanto, Heisenberg encontró la teoría de Schrödinger “repugnante” y afirmó que “lo que Schrödinger escribe sobre la visión […] parloteo. “

Pero aunque los dos conceptos parecían radicalmente diferentes, en realidad hacían las mismas predicciones. Aproximadamente una década después, su colega John von Neumann demostró que las fórmulas eran matemáticamente equivalentes.

manzana y naranja

Una forma común de examinar un objeto matemático es observar sus simetrías. La idea es que los objetos más simétricos tengan estructuras más simples. Por ejemplo, compare un círculo, que tiene un número infinito de simetrías rotacionales y reflexivas, con una flecha que solo tiene una. En este sentido, el círculo es más simple que la flecha y requiere menos matemáticas para ser descrito.

Los autores extienden este criterio a matemáticas más abstractas utilizando autoformas. Estas funciones comparan diferentes partes de un objeto que son, en cierto sentido, “iguales” entre sí. Los mecanismos nos dan una guía para medir la estructura de diferentes teorías: las teorías más complejas tienen menos formas mecanicistas.

En 2012, dos filósofos propusieron una forma de comparar la complejidad estructural de diferentes teorías. Un objeto matemático X tiene al menos tanta estructura como otro Y, si y sólo si los automorfos de X son un subconjunto del de Y. Piense de nuevo en el círculo. Ahora compárelo con un círculo con un semicírculo rojo. El círculo sombreado ahora solo tiene algunas de las simetrías que solía tener, debido a la estructura adicional que se agregó al sistema.

Este fue un buen intento, pero se basó demasiado en objetos que tenían el mismo tipo de simetría. Esto funciona bien para formas, pero se desmorona con matemáticas más complejas.

Isaac Wilhelm, de la Universidad Nacional de Singapur, ha intentado arreglar esta sensibilidad. Deberíamos poder comparar diferentes tipos de grupos de simetría siempre que podamos encontrar una coincidencia entre ellos que preserve el marco interno de cada uno. Por ejemplo, marcar un plano crea una coincidencia entre la imagen y el edificio que preserva el diseño interior del edificio.

El cambio nos permite comparar las estructuras de teorías matemáticas muy diferentes, pero también arroja respuestas incorrectas. “Desafortunadamente, Wilhelm fue demasiado lejos allí”, dijo Barrett. “No harás cualquier correspondencia”.

esfuerzo difícil

En su último artículo, Barrett y sus coautores, J.B. Munchak y James Wetherall, intentaron salvar el progreso de su colega restringiendo el tipo de simetrías o automorfismos que podrían considerar. Quizás solo las correspondencias que surgen de los objetos base (por ejemplo, círculo y flecha), y no sus grupos de simetría, son kosher.

Desafortunadamente, este intento también fracasó. De hecho, parece que el uso de simetrías para comparar estructuras matemáticas puede estar condenado por principio. Considere la forma asimétrica. Tal vez una mancha de tinta. Bueno, hay más de una mancha de tinta en el mundo, y todas son completamente asimétricas y muy diferentes entre sí. Sin embargo, todos tienen el mismo conjunto de simetría, es decir, ninguno, por lo que todos estos sistemas clasifican las manchas de tinta con la misma complejidad, incluso si algunas son más complicadas que otras.

Este ejemplo de mancha de tinta revela que no podemos decir todo acerca de la complejidad estructural de un objeto con solo mirar sus simetrías. Como lo muestra Barrett, el número de simetrías reconocidas por el cuerpo llega a cero. Pero no existe un techo equivalente en la cantidad de complejidad que puede contener un objeto. Este desajuste crea una ilusión de máxima complejidad estructural.

En él, los autores revelan la verdad. El concepto de simetría es poderoso para describir la estructura. Sin embargo, no captura suficiente información sobre un objeto matemático, y la teoría científica que representa, para permitir una comparación completa de la complejidad. La búsqueda de un sistema que pueda hacer esto seguirá manteniendo ocupados a los científicos.

Rayo de esperanza

Si bien la simetría puede no proporcionar la solución que esperaban los autores, revelan una idea clave: las simetrías tocan conceptos con los que un objeto viene de forma natural y orgánica. De esta manera, se pueden utilizar para comparar las estructuras de diferentes teorías y sistemas. “Esta idea le brinda una explicación intuitiva de por qué las simetrías son una buena guía para la estructura”, dijo Barrett. Los autores escriben que vale la pena mantener esta idea, incluso si los filósofos tienen que abandonar el uso de formas espontáneas para comparar la estructura.

Afortunadamente, las formas de las máquinas no son el único tipo de simetría en matemáticas. Por ejemplo, en lugar de mirar solo las simetrías globales, podemos mirar las simetrías entre las regiones locales y compararlas también. Barrett está investigando actualmente a dónde conducirá esto y trabajando para describir lo que significa definir una estructura en términos de otra.

Aunque la claridad aún está lejos de nosotros, este artículo les da a los filósofos un propósito. No sabemos hasta dónde hemos llegado en esta difícil ascensión a la cumbre del entendimiento. El camino por delante está envuelto en niebla y es posible que no haya ningún pico al que llegar. Pero la simetría proporciona estabilidad para atar nuestras cuerdas mientras continuamos nuestro ascenso.

Referencia: “Sobre los criterios de morfología instrumental para comparar cantidades de estructura matemática” por Thomas William Barrett, J.P. Munchak y James Owen Weatherall, 25 de mayo de 2023, disponible aquí. síntesis.
DOI: 10.1007/s11229-023-04186-3